1. Amostragem
1.1 Revisão da teoria:
- Nenhum sinal digital tem componentes com frequências acima de fs/2.
- Se o sinal analógico a ser digitalizado tiver componentes acima de fs/2, estas devem ser eliminadas antes da amostragem.
- Se isto não for feito, ocorre o efeito de aliasing, que consiste na transposição dos sinais de alta frequência para a região compreendida entre 0 e fs/2, causando distorção do sinal.
1.2 Experiências
1. Gere um sinal digital de 1000 amostras que simule um sinal analógico, consistindo de uma única senóide de frequência 30.76 Hz, amostrada a 1 kHz por 1 segundo. Plote este sinal digital com o eixo x sendo o tempo, de 0 a 1 s.
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% Gerando sinal de 30.76 Hz amostrado a 1kHz.
fs = 1000; % Frequência de amostragem em Hertz
f = 30.76; % frequência do sinal a ser gerado em Hertz
t=0:1/fs:1; % Geração do eixo de tempo (1 segundo)
y=sin(2*pi*f*t); % Geração do sinal
% Mostrando o sinal gerado
plot(t,y)
title("Sinal amostrado a 1kHz");
xlabel("tempo (s)");
ylabel("amplitude (V)");
grid
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2. Simule a amostragem deste sinal analógico a 200 Hz, descartando 4 amostras a cada 5 do sinal digital que você criou no passo 1.
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% Reamostrando o sinal a 200 Hz
tamanho=length(y);
t1=1;
t2=1;
while (t1<tamanho)
y200(t2) = y(t1);
t1 = t1+5;
t2 = t2+1;
end
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a. Plote este sinal reamostrado, com o eixo x rotulado como "tempo", indo de 0 a 1 s.
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% Mostrando o sinal gerado
fs2=200;
t=0:1/fs2:1; % Geração do eixo de tempo (1 segundo)
t=t(1:length(y200));
plot(t,y200)
title("Sinal amostrado a 200Hz");
xlabel("tempo (s)");
ylabel("amplitude (V)");
grid
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b. Ocorreu aliasing neste sinal? Explique.
c. Qual é a freqüência deste sinal digital?
d. O sinal analógico original pode ser reconstruído a partir deste sinal digital?
3. Repita o exercício 2 com frequências de amostragem de 50 Hz, 33.33 Hz, e 28.57 Hz.
2. Quantização
2.1 Revisão da teoria
- Quando quantizamos um sinal analógico, geramos uma aproximação do mesmo, como mostrado na figura abaixo.
- A diferença entre o sinal analógico original e sua versão quantizada é chamada de ruído de quantização.
- Assim, quantizar um sinal analógico corresponde a adicionar uma certa quantidade de ruído.
- Quanto menos bits usamos na quantização, mais grosseira ela fica, e portanto temos mais ruído adicionado.
- A variância do ruído de quantização é dada por Var[Q] = (LSB)^2/12.
- O termo LSB é o passo de quantização, e representa a distância entre um nível de quantização e outro. Este é dado por Vmax/2^N, onde Vmax é a excursão máxima do sinal e N é o número de bits usados na quantização.
- Uma outra figura estatística muito usada para análise deste ruído é o desvio padrão do ruído de quantização, que é dado pela raiz quadrada da variância.
2.2 Experiências
1. Use o código abaixo para gerar e visualizar um sinal "analógico", composto por duas senóides.
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% Gerando um sinal com duas senóides
fs = 1000; % Frequência de amostragem em Hertz
f2=100.47;
f = 40.76; % frequência do sinal a ser gerado em Hertz
t=0:1/fs:1; % Geração do eixo de tempo (1 segundo)
nAmostras = length(t);
y1=cos(2*pi*f*t); % Geração do sinal
y2=cos(2*pi*f2*t); % Geração do sinal
y=y1+y2;
maximo=max(abs(y));
y=y/maximo;
Vmax = max(y);
Vmin = min(y);
% Mostrando o sinal gerado
plot(t,y)
title("Sinal amostrado a 1kHz");
xlabel("tempo (s)");
ylabel("amplitude (V)");
grid
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2. Faça a quantização deste sinal com 8 bits, e anote o valor da variância e do desvio padrão calculados.
Você vai precisar de duas funções:
default
quantiza
e
default
normaliza
.
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nBits=8;
for n=1:nAmostras
z(n)=quantiza(y(n),Vmin,Vmax,nBits);
end
for n=1:nAmostras
zn(n)=normaliza(z(n),Vmin,Vmax,nBits);
end
plot(t,zn,'r')
diferenca=y-zn;
variancia = var(diferenca)
desviopadrao = sqrt(variancia)
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3. Compare os resultados obtidos com os valores teóricos e discuta os resultados.
4. Repita este procedimento, alterando as frequências das senóides para outros valores. Os resultados são os mesmos? Porque?
5. Repita os exercícios 3 e 4 para N=7,6 e 4 bits.
